La version Linux de Flash n'est plus développée par Adobe, qui se contente de mises à jour de sécurité sur une vieille version mais plus pour longtemps. Google a pris le relais avec Chrome et propose une version à jour. Le problème, c'est qu'il y a deux formats pour le plugin Linux : la version "vieux plugin" qui est dans les dépôts (paquet flashplugin-installer) et la version "nouveau plugin" qui est fournie avec Chrome et uniquement avec lui. Le vieux plugin fonctionne avec Firefox mais je ne suis pas sûr pour Chrome/Chromium. Dans le meilleur des cas, je pense qu'il faut modifier des clés dans la "base de registre" du navigateur pour lui dire de l'utiliser. La meilleure solution dans ton cas serait d'utiliser le plugin pour Chrome mais il n'est pas téléchargeable à part, il faut installer Chrome pour le récupérer et le mettre dans le dossier de Chromium.
Apparemment, il y a un paquet qui automatise tout ça mais je n'ai pas testé (j'utilise Chrome) : http://www.omgubuntu.co.uk/2014/06/install-pepper-flash-chromium-ubuntu-14-04
